Quatre variables, deux paramètres, un seuil :
arithmétique d’une chute
(sur la fronce, la jeunesse en colère et la difficulté de dater l’inévitable)
1. Le problème, tel qu’il se pose
On voudrait savoir combien de jours il reste à un gouvernement. La question est raisonnable, ce qui ne signifie pas qu’elle soit résoluble, et le début d’une réponse honnête consiste à reconnaître que la théorie la plus adaptée, celle des catastrophes de René Thom et d’Erik Christopher Zeeman, est un outil qualitatif. Elle décrit comment un système continu produit des changements discontinus.
Le matériau de départ comporte quatre variables : X, le nombre de crises de la Ve République ; Y, l’abstention électorale ; Z, la perte en capital constant du PIB ; et t, la durée des trois gouvernements précédents. Or le modèle de la fronce (cusp) n’en admet que trois : deux paramètres de contrôle, a et b, et une variable d’état, x. Le temps n’est pas un paramètre d’entrée. C’est l’axe sur lequel on observe les sauts. Il y a donc un moment, dans tout calcul de ce genre, où l’on doit décider que quatre choses valent en réalité deux, et c’est à cet endroit précis, discret et peu commenté, que le raisonnement cesse d’être des mathématiques pour devenir du jugement.
2. L’équation
Le potentiel de la fronce s’écrit :
V(x) = ¼x⁴ + ½ax² + bx
et ses points d’équilibre sont les solutions de :
dV/dx = x³ + ax + b = 0
Tout le comportement du système tient dans ce cube. Selon les valeurs de a et de b, il a une ou trois racines réelles. À trois racines, le système dispose de deux équilibres stables et peut y rester indéfiniment, ce qui s’appelle la bistabilité, ou, en langage courant, « ça tient ». À une seule, il n’y a plus de choix.
3. La calibration
L’instabilité structurelle, A, est calculée à partir de cinq crises majeures et d’une durée moyenne de 1,5 mois pour les gouvernements récents, soit 0,125 an :
A = −5 × (1 / 0,125) = −40
La pression socio-économique initiale, B, représente la perte de légitimité dont l’abstention est le symptôme : B = −5. L’équation d’état devient donc :
x³ − 40x − 5 = 0
Pour ces valeurs, le discriminant est négatif (4A³ + 27B² = −256 000 + 675 < 0), et l’équation a trois racines réelles : environ −6,3, −0,125 et 6,4. Le gouvernement occupe la racine positive. Il y est stable, et rien dans le modèle ne l’en déloge tant que B reste modeste.
4. Le seuil
La frontière de la bistabilité, l’ensemble catastrophe, est définie par :
4A³ + 27B² = 0
Avec A = −40 :
4(−40)³ + 27B² = 0 ⟹ 27B² = 256 000 ⟹ B² ≈ 9 481,5 ⟹ |B_critique| ≈ 97,37
Le système est donc à 92,37 unités de pression de la bascule, puisque 97,37 − 5 = 92,37. C’est le nombre autour duquel tout s’organise : tant que la pression totale ne l’atteint pas, l’équilibre positif subsiste ; une fois franchi, il disparaît, et il n’y a plus qu’une vallée, celle de x < 0. On remarquera qu’il ne se passe rien de spécial au moment du franchissement. La racine s’efface, c’est tout.[1]
5. Deux manières de franchir 92,37
Si la pression progresse par sauts, deux scénarios s’offrent. Dans le premier, dix sauts de 10 unités par crise : N = 92,37 / 10 = 9,23 sauts, et à 120 jours par crise, un délai de 1 200 jours.[2] Dans le second, trois chocs majeurs de 92,37 / 3 = 30,79 unités chacun, espacés de 180 jours : 3 × 180 = 540 jours.
Les deux scénarios répondent à la même question avec un facteur 2,2 d’écart, ce qui, appliqué à une prédiction, s’appelle de l’incertitude et, appliqué à un budget, de l’imprécision.
6. L’actualisation : ce que la rue ajoute
Dans la configuration présente, les paramètres de pression ne sont plus abstraits. On leur attribue des pondérations explicites :
|
Variable de pression |
Pondération (Bᵢ) |
Rôle |
|
B_socio-éco |
−5 |
Pression de base : abstention, contraintes budgétaires |
|
B_lycéen |
−15 |
Révolte lycéenne, blocages et mobilisations de jeunesse |
|
B_extension |
−25 |
Extension aux universités, syndicats, grèves interprofessionnelles |
|
B_incident |
−55 |
Facteur multiplicateur brutal : incident grave, drame |
|
TOTAL (B_total) |
−100 |
La somme est de −100, soit un dépassement de 2,63 unités du seuil de −97,37. En d’autres termes, |B_total| = 100 > |B_critique| = 97,37, et l’équilibre x > 0 disparaît, imposant une bascule irréversible vers x < 0.
7. Le calendrier
À partir de ces pondérations, on projette trois sauts depuis octobre 2026 :
|
Phase d’escalade |
Délai intrinsèque |
Plage de dates projetée |
|
Saut 1 : révolte lycéenne et blocages |
5 à 10 jours |
13 – 18 octobre 2026 |
|
Saut 2 : extension générale et grèves |
+7 à 12 jours |
20 – 30 octobre 2026 |
|
Saut 3 : incident grave / bascule |
+1 à 3 jours |
24 octobre – 10 novembre 2026 |
d’où une fenêtre théorique de rupture du 24 octobre au 10 novembre 2026, soit de 10 à 25 jours.
8. Ce que le raisonnement établit, et ce qu’il laisse ouvert
Il établit trois choses. Premièrement, qu’une structure de type fronce est une description cohérente d’un système politique instable, où de petites variations de pression peuvent produire une rupture soudaine. Deuxièmement, que le seuil est à 97,37 et que, dans la configuration retenue, la pression le dépasse de justesse. Troisièmement, que le résultat est entièrement conditionné par le facteur le moins prévisible.
C’est peut-être la meilleure chose à dire en faveur de l’exercice : il force à écrire noir sur blanc ce qu’on croit savoir (une pression de −100, un seuil de −97,37, trois sauts) et il permet, du même coup, de voir où l’on ne sait rien.